困擾數學界幾個世紀的難題終于有了重大突破！

如果這個難題得到解決，將直接影響到一個著名的未解之謎——Behr和Sveneton—Dale猜想的解決。

貝赫和斯維登—戴爾猜想是數學界七大千年謎題之一，有人懸賞高達100萬美元證明它。

那么，你突破了哪些難題。

求有多少個整數，可以寫成兩個有理數的立方和。

例如，整數13可以拆分成有理數7/3的立方和有理數2/3的立方之和:

看似不難，但這幾百年來數學家提出的各種猜想，都沒有得到真正徹底的證實。

普林斯頓高等研究院數學教授彼得·薩爾納克對此感嘆道:

分析兩個數的立方和，意味著研究的家庭很小，家庭越小，問題越難。

我只能說，這個問題很難，特別難，答案幾乎遙不可及。

但對于學術界來說，這個問題的解決至關重要。

它不僅是解決許多純數學問題的核心突破口，在密碼學等應用數學領域也備受關注。

沒有證據，沒有數學現在，三位數學家再次挑戰這一難題，成功突破其中一個關鍵瓶頸

那么這個數學問題的難點在哪里，數學家們又是如何取得這個突破的呢。

選擇立方冪的死磕。

我們先來來回回看看這個待解的難題:

有多少個整數可以表示為有理數的立方和。

這時候可能有朋友會疑惑，為什么數學家堅持三次方的和而不是平方，四次方，五次方…。

答案也很簡單——更難，更有用。

有三個具體原因:

第一，除了三次方，還解決了一些問題，是小于它的二次方，還是大于它的n次方。

以二次冪為例，已經有非常具體的方法來確定哪些整數可以是兩個有理數的平方和。

這種方法是由數學家阿爾伯特·吉拉德和皮耶·德·費瑪在17世紀初提出的如果不滿足這個條件，整數就不能用有理數的平方和來表示

首先，將選定的數分解成素數冪的形式。以整數490為例，可以分解成以下形式:

然后，檢查分解的質數:如果一個質因數除以4的余數是3，那么它的冪一定是偶數只有這樣，原數才能表示為有理數的平方和

這里7除以4除以3，其指數為2，滿足偶數的要求。因此，整數490可以由兩個有理數的平方和來表示:

其次，基于上述條件，是否可以用兩個有理數之和來表示也可能成為除了奇數和偶數之外，將整數有效劃分為兩大陣營的另一種分類方法。

畢竟數學家計算過，發現能用有理數的平方和表示的整數比例很低，n次方也是。

相比之下，可以用立方和表示的整數非常豐富。

就從1到100的整數中，59可以用兩個有理數的立方和來表示:

藍數可以寫成兩個有理數立方的和。

這樣，大約59%的整數可以用兩個有理數之和來表示，甚至數學家懷疑這個值可以擴展到所有的整數范圍。

第三，數學家研究這個問題不僅僅是為了有一種新的整數除法，還與數論中的熱點研究領域——橢圓曲線有關。

橢圓曲線方程

橢圓具有極其復雜的結構，這使得它成為純數學，應用數學等許多領域的中心，在密碼學中也非常有用。

而立方問題是橢圓曲線的特例。

如開篇所述，貝赫和斯萬頓—戴爾猜想是橢圓曲線領域的一個核心問題。

如果這個猜想成立，我們可以推斷出符合上述1~100整數性能的結論:

在這1000萬個數中，約59%是兩個有理數立方的和。

但是，上面提出的這么多推論，都只是在猜想的層面。

在過去的幾百年里，許多數學家試圖解決這個難題，但他們要么不能得出結論，要么不能證明他們的推論是正確的。

與指數為2時不同，這個整數很容易證明是兩個有理數的平方和畢竟當指數為3時，沒有確切的方法證明這個整數是否可以分解

但試圖把整數一個一個暴力拆解是不現實的。

因為在整個拆卸過程中，涉及的計算量是巨大的。

畢竟，分割成兩個分數立方和比分割成兩個整數立方和要困難得多...

以栗子為例。雖然整數2083可以分解成兩個分數的立方和，但是僅僅這兩個分數的分母就長達40多個數字！

這還只是一個整數的計算，更別說其他整數的逐個計算了。

現在，終于有三位數學家成功突破了這個問題的瓶頸，首次給出了可以分解為兩個有理數立方之和的整數比例:

9.5%~83%。

那么這個范圍是怎么來的呢。

這個范圍怎么劃定。

如上所述，橢圓曲線的結構極其復雜，這使得它的直接求解非常困難。

于是三位數學家開始思考:為什么不試著把它和更容易處理的東西聯系起來呢。

想到這里，我就想到了《黑客帝國》。

三位數學家中的一位在今年4月證明了一個理論:

如果一個三次和方程有有理數解，那么至少有一個2×2×2×2的四維矩陣與之對應。

根據這個理論，如果能找到計算整數的兩個分數立方和方程是否有對應的四維矩陣的方法，就能找出不能表示為有理立方之和的整數的范圍。

具體求解過程涉及兩種理論:

第一部分是幾何數論，涉及到計算不同幾何圖形在坐標系中的格點，另一部分是解析數論，與哈代—利特伍德圓法有關。

最后的結果是大約1/6的整數沒有對應的四維矩陣換句話說，這個1/6整數是不可能表示成兩個有理數之和的

這樣就確定了這個范圍的最大上限——最多可以把5/6的整數表示為有理數立方和。

所以要求解下限，就把定理反過來。

不是這樣的。

畢竟這個理論的逆定理還沒有被證明為真，即如果一個整數能找到其對應的四維矩陣，也可以表示為兩個有理數的立方和。

為此，三位數學家向兩位橢圓曲線領域的專家求助，他們是奧斯汀德克薩斯大學的Ashay Burungale和普林斯頓大學的Christopher Skinner。

經過一些修補，他們給出了逆定理在特殊情況下成立的條件在這種情況下，至少有2/21個整數，可以表示為兩個有理數的立方和

而2/21的值也是這個整數范圍的下限。

但畢竟是特例，所以三位數學家認為9.5%~83%的整數范圍可以進一步縮小。

接下來，他們打算在逆定理完全成立的情況下，將9.5%的下限數值進一步提高到接近5/12。

該領域的學者認為，這一突破表明數學家們從證明貝赫和斯維內頓—戴爾猜想又向前邁進了一大步。

在這項研究之前，三位數學家已經在數論領域合作過幾次。

其中，阿里·施尼曼和曼紐爾·巴爾加瓦早在2012年就在數論領域進行了合作，曼紐爾·巴爾加瓦在普林斯敦大學攻讀博士期間是勒萬特·阿爾普熱的導師。

哈佛大學初級研究員Levent Alp ge畢業于哈佛大學數學系，獲得物理學碩士學位，之后又獲得普林斯頓大學數學碩士和博士學位

他在2015年獲得了摩根獎，該獎每年頒發給數學研究杰出的大學生。

Ari Shnidman是以色列希伯來大學數學系的高級講師他的研究興趣是數論，包括算術統計和算術幾何

曼紐爾·巴爾加瓦是普林斯頓大學的數學教授，畢業于哈佛大學，擁有學士和博士學位他的研究方向是幾何數論

他因在幾何數論領域的杰出貢獻而獲得2014年菲爾茲獎，包括開辟了計算小秩環數的新方法，以及估計橢圓曲線平均秩的界。

值得一提的是，他對橢圓曲線三次方程有理數解的研究也是獲獎原因之一本研究中的兩個有理數的立方和問題就是其中的一個特例

這一突破有許多理論基礎，是基于曼紐爾·巴爾加瓦以前的工作。

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